Definisi Bilangan Bulat

Operasi hitung yang telah kita kenal adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Operasi hitung tersebut dapat kita lakukan pada himpunan bilangan Asli dan himpunan bilangan Cacah. Bagaimana kita melakukan operasi hitung dengan menggunakan bilangan negatif ? Bilangan negatif muncul karena sutau kebutuhan umat manusia di dalam kehidupannya, yang kemudian dikenal sebagai himpunan bilangan Bulat.

Opreasi Hitung pada Bilangan Bulat

Definisi Bilangan Bulat
Kita sudah mengenal himpunan bilangan seperti :

1. Himpunan bilangan asli ={1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
2. Himpunan bilangan cacah = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .. }

Kedua jenis bilangan tersebut belum dapat digunakan untuk menyatakan hal-hal berikut, misalkan :

1. Suhu suatu tempat yang berada di bawah nol derajat Celcius. Bagaimana untuk menyatakan suhu di bawah 0^oC ?

   Suhu 10 ^o C di bawah 0 ^o C ditulis dengan – 10 ^o C
   Suhu 20 ^o C di bawah 0 ^o C ditulis dengan – 20 ^o C
   
   
   

                                                                      Letak suatu tempat yang berada di bawah permukaan air laut pada waktu pasang. Bagaimana untuk menyatakan letak suatu tempat yang letaknya di bawah permukaan air laut pada waktu pasang ? Untuk suatu tempat yang terletak di bawah permukaan air laut pada waktu pasang dinyatakan dengan tanda negatif ( -).

Pada gambar penampang melintang bumi, kedalaman cekungan laut adalah 80 m di bawah permukaan air laut, maka dinyatakan dengan –80 m.Maka letak paparan laut dinyatakan dengan –30 m. 

3. Menyatakan hasil pengurangan pada bilangan cacah.
   Bagaimana untuk menyatakan hasil dari :
   • 4 – 6 = ..?
   • 3 – 8 = ..?
   • 8 – 12 = ..?  

Untuk menyatakan hal-hal seperti tersebut di atas, maka diperlukan bilangan-bilangan bertanda negatif. Bilangan-bilangan – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6 , . . . disebut bilangan bulat negatif.
Bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . disebut bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat negatif, nol, bilangan bulat positif membentuk himpunan bilangan bulat.
Jadi himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif. Himpunan bilangan Bulat (B) adalah B = { ..., - 6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Gambar Garis Bilangan Bulat

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Operasi hitung penjumlahan pada bilangan bulat dapat menggunakan alat bantu berupa :

1. Mistar hitung
   Mistar hitung adalah alat bantu untuk menghitung penjumlahan pada bilangan bulat yang dapat dibuat sendiri dari kertas karton. Mistar hitung yang akan digunakan terdiri dari dua buah mistar dengan skala yang sama dan terdiri dari bilangan bulat, yaitu bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif.

2. Garis Bilangan
   Sebuah garis bilangan dapat digunakan untuk membantu penjumlahan pada bilangan bulat.

Jika suatu bilangan dijumlah dengan bilangan bulat positif, maka arah panah ke kanan dan jika dijumlah dengan bilangan bulat negatif, maka arah panah ke kiri.

Contoh : a. 3 + 4 = 7          b. 3 + (-8) = -5

1. Contoh :
   Dengan menggunakan mistar hitung, tentukanlah hasil penjumlahan berikut :
   a. 8 + (-3) = ..
   Pasangkan bilangan 8 pada mistar bawah dengan bilangan 0 pada mistar atas, lalu lihat bilangan -3 pada mistar atas ternyata berpasangan dengan bilangan 5 pada mistar bawah,sehingga 8 + (-3) = 5

b. 5 + (-8) = ..
 Pasangkan bilangan 5 pada mistar bawah dengan bilangan 0 pada mistar atas, lalu lihat bilangan -8 pada mistar atas ternyata berpasangan dengan bilangan -3 pada mistar bawah, sehingga    5 + (-8) = -3

2. Contoh :
   Dengan menggunakan garis bilangan, tentukanlah hasil penjumlahan berikut :
   a. –3 + 5 = ..
   Pada sebuah garis bilangan bulat, dimulai dari bilangan 0 buat panah ke arah bilangan –3, lalu buat lagi tanda panah ke arah kanan (positif) sejauh 5 satuan sehingga jatuh di bilangan 2, maka
   -3 + 5 = 2

b. 6 + (-5) = ..
Pada sebuah garis bilangan bulat, dimulai dari bilangan 0 buat panah ke arah bilangan 6, lalu buat lagi tanda panah ke arah kiri (negatif) sejauh 5 satuan sehingga jatuh di bilangan 1, maka 6 + (-5) = 1

Operasi Penjumlahan Pada Bilangan Bulat
Pada himpunan bilangan Bulat terdapat pasangan-pasangan bilangan bulat positif dan bulat negatif.

• 5 berpasangan dengan –5, maka 5 lawan dari –5
• - 3 berpasangan dengan 3, maka –3 lawan dari 3

Sehingga :

• Lawan (invers jumlah) dari a adalah –a
• Lawan (invers jumlah) dari –a adalah a

Pengurangan suatu bilangan merupakan penjumlahan bilangan itu dengan lawan pengurangnya.

Contoh :

1. Dengan menggunakan invers jumlah, tentukan hasil pengurangan bilangan-bilangan berikut :
   • 4 – 6 = .........
   • 8 – (- 2) = .........
   • - 5 – (- 5) = ...........
   • – 3 – 5 = ................
   Jawab :
   • 4 – 6 = 4 + (-6) = -2
   • 8 – (-2) = 8 + 2 = 10
   • -5 – (-5) = -5 + 5 =0
   • –3 – 5 = -3 + (-5) = - 8
2. Tanpa menggunakan invers jumlah, tentukan hasil pengurangan bilangan-bilangan berikut :

• –6 – (-5) = .............
• –9 – 4 = .............
• 12 – (-20) = ..........
• –34 – (–22) = ......

Jawab :

• –6 – (-5) = -1
• –9 – 4 = -13
• 12 – (–20) = 32
• –34 – (–22) = -10

Operasi Perkalian dan Pembagian

Arti perkalian

2 x 3 = 3 + 3
         = 6

4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5

         = 20

1.  Perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif

• 3 x (-6) = -6 + (-6) + (-6)

                       = -18

• 4 x (-12) = -12 + (-12) + (-12) + (-12)

                         = -48                         

2. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif

3. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif

1. Contoh :
   Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan :
   
   1. 12 x (- 3) = ..............
   2. 16 x (- 4) = ..............
   3. – 5 x 13 = ..............
   4. 16 x (- 7) = ..............

Jawab : Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan :
1. 12 x (- 3) = - ( 12 x 3 ) = - 36
2. 16 x (- 4) = - ( 16 x 4 ) = - 64
3. – 5 x 13 = - ( 5 x 13 ) = - 65
4. – 16 x (- 7) = 16 x 7 = 112

2. Contoh :
   Jika p = - 8 dan q = 12, tentukanlah nilai dari :
   
   1. 2 x p x q
      
   2. 3p – 4q
      
   3. -4q + (- 2p)
   Jawab :
   
   
Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan :
1. 2 x p x q     = 2 x (- 8) x 12

   = - 16 x 12
   =  -  192

2. 3p – 4q       = 3 x (- 8) – 4 x 12
                      = - 24 – 48
                      = - 72
   
3. -4q + (-2p) = -4 x 12 +(-2x(-8))
                      = - 48 + 16
                      = - 32

Operasi pembagian pada bilangan bulat

Arti pembagian. Operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian

• 18 : 3 = 6         6 x 3 = 18
• 36 : 4 = 9         9 x 4 = 36

1. Pembagian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif
   
   
   • - 18 : 6 = - 3             - 3 x 6 = - 18
   • - 32 : 4 = - 8             - 8 x 4 = - 32
   • - 45 : 9 = - 5             - 5 x 9 = - 45

2. Pembagian bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif
   
   
   • 18 : (- 3) = - 6             - 6 x (- 3) = 18
   • 36 : (- 4) = - 9              - 8 x 4 = - 32
   • 24 : (- 6) = - 4             - 4 x (- 6) = 24

3. Pembagian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif
   
   
   • - 18 : (- 3) = 6             6 x (- 3) = -18
   • - 42 : (- 6) = 7             7 x (- 6) = - 42
   • - 72 : (- 8) = 9             9 x (- 8) = - 72

   
   

1. Contoh :
   Hitunglah :
   
   1. 12 : (- 3) = ...
   2. 16 : (- 4) = ...
   3. – 45 : 3 = ...
   4. – 63 : (- 7) = ...

Jawab :
1. 12 : (- 3) = - ( 12 : 3 ) = - 4
2. 16 : (- 4) = - ( 16 : 4 ) = - 4
3. – 45 : 3 = - ( 45 : 3 ) = - 15
4. – 63 : (- 7) = 63 : 7 = 9

2. Contoh :
   Jika p = - 48 dan q = 2, tentukanlah nilai dari :
   
   1. 2p : 3q
   2. (p : 3) : q

Jawab :

1. 2p : q = (2 x (- 28)) : 2

          = - 56 : 2
          = - 28

2. (p : 3 ) : q = (- 48 : 3) : 2

                = - 16 : 2
                = - 8

Latihan